Download PDF by Albrecht Beutelspacher: Der Goldene Schnitt

By Albrecht Beutelspacher

ISBN-10: 3322851656

ISBN-13: 9783322851659

ISBN-10: 3815425115

ISBN-13: 9783815425114

Der Goldene Schnitt tritt seit der Antike in vielen Bereichen der Geometrie, Architektur, Musik, Kunst sowie der Philosophie auf, aber er erscheint auch in neueren Gebieten der Technik und der Fraktale. Dabei ist der Goldene Schnitt kein isoliertes Phänomen, sondern in vielen Fällen das erste und somit einfachste nichttriviale Beispiel im Rahmen weiterführender Verallgemeinerungen. Ziel dieses Buches ist es, einerseits Beispiele des Goldenen Schnitts zu besprechen, andererseits weiterführende Wege aufzuzeigen.

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Wir betrachten den Schnittpunkt 0 der Diagonalen P1P3 und P2PS. Da PI P2 und P3PS parallel sind, ergibt sich mit Hilfe des Strahlensatzes IO P31/10 Pli = IP3PsI/IP1P21· Ferner ergibt sich aus der Definition eines regularen Funfecks IP1P21 und der obige Hilfssatz sagt insbesondere IP3Ps i =IP 1P31· Zusammen gilt daher auch IO P31/10 P11 = IP1P31/1P4Psi Es bleibt also nur noch zu zeigen, daB IP4Psi = IOP31 gilt. 2 GOLDENER SCHNITI A 33 IP4Psl, 1m nachsten Schritt weisen wir dazu nach, daB QP 3P4PS ein Parallelogramm ist.

Das bedeutet nun nichts anderes, als daB A' beim Falten an Fl auf A zu liegen kommt. h. nach dem ersten Faltvorgang) ABCDE ein regulares FOnfeck. (Dies sieht man einfach: Aile Seiten haben die Lange IABI. ) Nun falten wir an F2 . 15 Dies hat den Effekt, daB das Trapez T3 hinter den Trapezen T 1 und T2 verschwindet. Der Hilfssatz garantiert wieder, daB B auf B' und C auf C' liegt. Insbesondere liegt also die Faltkante F3 genau unter Be. Falten wir schlieBlich an F3 und ziehen das Ende E2 zwischen T1 und T2 hindurch, so konnen wir den Hilfssatz ein letztes Mal anwenden.

2 Platonische Korper Die folgenden fOnf Kerper sind seit Jahrtausenden als platonische Kerper bekannt. 4 Ein charakteristisches Kennzeichen der platonischen Kerper ist, daB ihre Oberflache aus jeweils kongruenten, regelmaBigen Vielecken besteht, von denen an jeder Ecke gleichviele zusammenstoBen. Die einzelnen platonischen Kerper unterscheiden sich durch die Anzahl der Drei-, Vier- bzw. FOnfecke an jeder Ecke des Kerpers und entsprechend durch die Gesamtzahl der Ecken, Kanten und Flachen. Die fOnf platonischen Kerper wurden schon von EUKLID im Buch 13 seiner "Elemente" behandelt; sie werden aber heute eher mit dem Namen "Plato" verbunden, der vieren der Kerper die vier Elemente {Erde, Feuer, Luft, Wasser} zuordne- 50 te und den fOnften (das Dodekaeder) als Gestalt beschrieb, die das ganze Weltall umfaBte ("Quintessenz n ).

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Der Goldene Schnitt by Albrecht Beutelspacher


by Robert
4.5

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